orionsnow 发表于 2010-1-8 14:57

热学C_p=C_c+R, 综合以下各楼，答案编辑在一楼

本帖最后由 orionsnow 于 2010-1-13 10:47 编辑

已知传统热力学公式, 内能关系。

我就按自己理解重复的，下边有录像和笔记是原文，我觉得还是看原文好，我在学习小组已经把别人搞糊涂了。

要推理想气体

C_p=C_c+R



lemma 1:

**** ∂是偏微分算子, | 是下角标算子，表示PVT在pvt 点时

dU/dT |(P=p ) = dU/dT | (V=v )

proof:


U(T, V（T,P） )   是 T , V 的函数（T和V在形式上可分离），
dU/dT |(P=p )的全微分形式就是对变量T和V（是T的隐函数，要使用链式法则）的分别求偏导

∂U/∂T和 (∂U/∂V) * (dV/dT)

U对独立变量T的求偏导是在把V视为参量下进行的，
所以形式为∂U/∂T | (V=v )

U对独立变量V的求偏导是在把T视为参量下进行的，
所以形式为∂U/∂V| (T=t )
考虑到V是一个T的隐含数，应用链式法则，
添加dV/dT| (P=p )
固定p，视为参量。

U(T, V（T,P） )
说到底U可以表述成T,P两个变量的函数，
但是V is function of T and P.
V可是视为一个中间传递量。
在全微分表示里，帮助对T求偏导的形式展开。

自然有形式
dU/dT |(P=p )
=
∂U/∂T | (V=v )+ (∂U/∂V) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)
=
dU/dT | (V=v )+ 0
=
dU/dT | (V=v )


step2
=>

H = U + pv

两边关于T在小p点偏微分，套比热常数定义就有

C_p= dU/dT |(P=p )+ p dV/dT|(P=p )

C_p= dU/dT |(V=v ) (from lemma1)+ p R/p

（V=nRT/p ， dV/dT|(P=p ) = nR/p，这里求的是比热容所以n=1。 ）

C_p=C_c+R



出处
http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Chemistry/5-60Spring-2008/305DEDC8-C8CC-48A4-B335-6DE6BC5B47D3/0/5_60_lecture4.pdf
最后一页，倒数第2，3行， 那两个公式.

http://videolectures.net/mit560s08_bawendi_lec04/   in 52:00

orionsnow 发表于 2010-1-8 15:03

如果不带给定的p 那用链式法则可以得到

dU/dT
=
dU/dT   + (dU/dV)* (dV/dT)

然后固定p

dU/dT |(P=p )
=
dU/dT | (P=p )   + (dU/dV) | (P=p )* (dV/dT) | (P=p)   

然后我就不知道怎么做了，好像要利用 等温或着等压，或者做功可逆的什么条件，让 T 也固定下来。然后V 就固定了

K18 发表于 2010-1-9 15:32

你写的东西看的我头疼
你用latex把公式写好
贴个图上来
我就帮你

Piggy-poo 发表于 2010-1-12 15:24

{:5_355:}

老太爷2008 发表于 2010-1-12 15:50

dU/dT |(P=p )
= (MY QUESTION is here)
dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) * (dU/dT) | (P=p)

这个是不是错了？
会不会是
dU/dT |(P=p )
dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)

老太爷2008 发表于 2010-1-12 15:59

本帖最后由 老太爷2008 于 2010-1-12 15:03 编辑

理想气体， 内能仅取决于温度
故(dU/dV) | (T=t ) = 0

orionsnow 发表于 2010-1-12 16:27

dU/dT |(P=p )
= (MY QUESTION is here)
dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) * (dU/dT) | (P=p)

这个是不是错了？
会不会是
dU/dT |(P=p )
dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)
老太爷2008 发表于 2010-1-12 14:50 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif

yes it was a typo in first floor, i have corrected it in 2nd floor

i will correct that one in first floor.

dU/dT |(P=p )
= (MY QUESTION is here, how could this works?左边怎么等于右边的，二楼我推倒了一下，似乎也不对，可能公式抄的还有错。)
dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)
=
dU/dT | (V=v )+0
=
dU/dT | (V=v )

老太爷2008 发表于 2010-1-12 16:35

本帖最后由 老太爷2008 于 2010-1-12 15:42 编辑



yes it was a typo in first floor, i have corrected it in 2nd floor

i will correct that one in first floor.

dU/dT |(P=p )
= (MY QUESTION is here, how could this works?左边怎么等于右边的，二 ...
orionsnow 发表于 2010-1-12 15:27 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif

没问题了，前面我给了解释。

(dU/dV) | (T=t ) =0
（理想气体， 内能仅取决于温度---著名的“焦耳定律”）

故(dU/dV) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)=0

orionsnow 发表于 2010-1-12 16:57

(1) dU/dT |(P=p )
=
(2) dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)
=
(3)dU/dT | (V=v )+0
=
(4)dU/dT | (V=v )

你解释的是2-》3 ，

我现在不明白的是1-》2， 先链式法则，然后定压怎么转变成为定容的？

我在二楼推倒了一下，但是不完全。

老太爷2008 发表于 2010-1-12 17:08

本帖最后由 老太爷2008 于 2010-1-12 17:30 编辑

U(T, V（T,P） )   是 T , V 的函数（T和V在形式上可分离），
dU/dT |(P=p )的全微分形式就是对变量T和V（是T的隐函数，要使用链式法则）的分别求偏导

∂U/∂T和 (∂U/∂V) * (dV/dT)

U对独立变量T的求偏导是在把V视为参量下进行的，
所以形式为∂U/∂T | (V=v )

U对独立变量V的求偏导是在把T视为参量下进行的，
所以形式为∂U/∂V| (T=t )
考虑到V是一个T的隐含数，应用链式法则，
添加dV/dT| (P=p )
固定p，视为参量。

U(T, V（T,P） )
说到底U可以表述成T,P两个变量的函数，
但是V is function of T and P.
V可是视为一个中间传递量。
在全微分表示里，帮助对T求偏导的形式展开。

自然有形式
dU/dT |(P=p ) = ∂U/∂T | (V=v )+ (∂U/∂V) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)




我数学不好（不严谨），不过我觉得第一步是自然的。

orionsnow 发表于 2010-1-12 17:17

本帖最后由 orionsnow 于 2010-1-12 16:19 编辑

U(T, V（T,P） )   是 T , V 的函数（T和V在形式上可分离），
dU/dT |(P=p )的全微分形式就是对变量T和V（是T的隐函数，要使用链式法则）的分别求导

dU/dT和 (dU/dV) * (dV/dT)

V is function of T and P ...
老太爷2008 发表于 2010-1-12 16:08 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
1.1:dU/dT
=
1.2: dU/dT   + (dU/dV)* (dV/dT)

然后固定p

1.3 dU/dT |(P=p )
=
1.4dU/dT | (P=p ) + (dU/dV) | (P=p )* (dV/dT) | (P=p)   
=
(2) dU/dT | (V=v ) + (dU/dV) | (T=t ) * (dV/dT) | (P=p)

我思路和你差不多，做到1。4， 不知道怎么变成2 了，这里好像需要物理学条件。

比如p固定， v 也固定， 我总是觉得我漏掉一个 t 固定。

老太爷2008 发表于 2010-1-12 17:37

本帖最后由 老太爷2008 于 2010-1-12 16:39 编辑


1.1:dU/dT
=
1.2: dU/dT   + (dU/dV)* (dV/dT)

然后固定p

1.3 dU/dT |(P=p )
=
1.4dU/dT | (P=p )   + (dU/dV) | (P=p )* (dV/dT) | (P=p)   
=
(2) dU/dT | (V=v )+ (dU/dV) | (T=t ) *...
orionsnow 发表于 2010-1-12 16:17 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif

问题出在这，要写成偏微分（符号）形式。
这样就好理解了。

p固定， v 也固定， 再加上一个 t 固定的话，
所有的热力学量就都是固定值了

老太爷2008 发表于 2010-1-12 17:51

OS兄，我在异次元楼里重新编辑了一下。
你看看，满意么？

orionsnow 发表于 2010-1-12 18:24

果然是高人阿，我也觉得很有道理，回头有空，我整理出来

stubor 发表于 2010-1-12 20:33


C_p= dU/dT |(P=p )+ p dV/dp

公式倒数第三行，是不是也抄错了啊？应该是C_p=dU/dT |(P=p )+ p dV/dT吧。
根据pV=nRT可以得出来最后的结论。

orionsnow 发表于 2010-1-13 11:31

本帖最后由 orionsnow 于 2010-1-13 10:35 编辑


公式倒数第三行，是不是也抄错了啊？应该是C_p=dU/dT |(P=p )+ p dV/dT吧。
根据pV=nRT可以得出来最后的结论。
stubor 发表于 2010-1-12 19:33 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
是抄错了，是抄错了，还好后边这个和前边的证明是分开的，要不然又绞在一起了

H = U + pv

两边关于T在小p点偏微分，套比热常数定义就有

C_p= dU/dT |(P=p )+ p dV/dT|(P=p )

C_p= dU/dT |(V=v ) (from step1)+ p R/p （V=nRT/p ， dV/dT|(P=p ) = nR/p，这里求的是比热容所以n=1。 ）

C_p=C_c+R
页: [1]
查看完整版本: 热学C_p=C_c+R, 综合以下各楼，答案编辑在一楼