本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-5 11:43 编辑
解析解不存在，是不是就代表着原函数也不存在？
换句话说，如果能证明原函数存在，解析解是不是一定存 ...
开心小子 发表于 2010-9-4 21:23 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
第一个问题， 不是。
第二个问题， 很难回答。 另外好像原函数的存在性也不需要证明。 不可积（解）和不存在是两个概念。
初等函数解析解不一定存在，高斯证明过了，微积分课程上有讲，有那些函数是不可积的。
高等函数解析解是不是一定存在，我自己也不确定。
第一个问题， 不是。
第二个问题， 很难回答。 另外好像原函数的存在性也不需要证明。 不可积（解）和 ...
orionsnow 发表于 2010-9-5 11:37 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
你没理解我的意思
“可解性”，存在着很大的主观性，你不能解，说不定爱因斯坦能解，说不定我们的后人能解
而“存在性”却是非常客观的，只要能证明一个函数是存在的，理论上来，应该就能找出它对应的数学表达式
核心问题，你能不能证明你给出的表达式，它的原函数它是存在的？
本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-5 17:10 编辑
你没理解我的意思
“可解性”，存在着很大的主观性，你不能解，说不定爱因斯坦能解，说不定我们的后人 ...
开心小子 发表于 2010-9-5 13:47 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
你的意思我明白， 其实可以类比虚数的发现过程。
比如x^2=-1 在实数域 就没有解。 但是在虚数域就有解。
解这个公式简单，但是要证明解的存在性是很复杂的。
有些积分没有初等解析解，高斯已经证明了，爱因斯坦也不可解。 （这里的初等函数全部是实空间函数，具体定义可以参考我前边楼的wiki）
高等解析解那个爱因斯坦还活着，他还有机会找个数学家给他解。 我们现在也是正在讨论到底怎么解。不过有没有结果那是另一回事。
原函数的存在性是一定的， 不过很遗憾，我不会数学证明。 估计思路就和你画曲线逼近的方法很接近，把曲线画出来，就证明我们用眼睛看到了，就证明存在，虽然这个证明很不严格。
你最好短信问问这里其他高人，他们数学比我好。
我只能从物理上说， 因为这个公式的原函数是自然界存在的，所以数学上的原函数肯定是存在的。
所以我才想找到原函数的解析解表达式。
我只能从物理上说， 因为这个公式的原函数是自然界存在的，所以数学上的原函数肯定是存在的。orionsnow 发表于 2010-9-5 17:03 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
{:5_377:}
就是我想说的
至于怎么通过严格的推导找到解析解
那是数学专家要考虑的问题
本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-27 17:47 编辑
就是我想说的
至于怎么通过严格的推导找到解析解
那是数学专家要考虑的问题
开心小子 发表于 2010-9-5 20:11 http://www.dolc.de/forum/images/common/back.gif
下边这个文章给了一个很漂亮的高等解析解，另外还给出了初等解析近似解的逼近算法。我觉得把我的问题解决的很好，现在正在尝试有时间用mathematica7实现下。
我粗糙的看了下，回头等有时间仔细读读，大家谁感兴趣也可以来讨论下
Unified treatment for accurate and fast evaluation of the Fermi–Dirac functions
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2010 Chinese Phys. B 19 050501
(http://iopscience.iop.org/1674-1056/19/5/050501)
大概的思路就是把 分子 （1+e） 的负1次方那一项， 二项展开为无穷级数， 即此积分的一个高等解析解。
然后如果这个序列收敛，就可以用数值方法计算前若干项的积分，然后得到数值解。
好像mathematica7 求数值解的时候就是用的这种方法。
因为之前它给我的高等解析解里头也带有无穷项级数。
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