大家谈谈泛函里的空间??

貂婵

在泛函里的空间很多很多,

索伯列夫空间, 赋范线性空间，巴那赫空间,希尔伯特空间等等空间.....

能不能 给个头绪啊!!:mad::mad::mad:




巴那赫空间以斯特凡·巴拿赫而命名。他主要研究泛函分析。巴那赫空间是个包含函数的无限维空间而且是一个完备的赋范空间，它是希尔伯特空间的推广。在巴那赫空间中定义了紧集的概念：对于一个有界闭集包含于无限的开覆盖，则必存在一个有限的子覆盖。紧集的概念是分析中有界闭集的一个推广。

定义
巴那赫空间定义为完备的线性赋范向量空间。即是说，它是一个实数或复数的向量空间并且有范数||.|| 。故此V里的每个柯西序列(d(x, y) = ||x - y||) 都有个在V里的极限。



对偶空间是以抽象方式来表达行向量(1×n)与列向量(n×1)的关系。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供更重要的角度。对偶空间的利用方式正如泛函分析一样，譬如傅立叶变换。


在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。




斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach‎，1892年3月30日—1945年8月31日），波兰数学家。

斯特凡·巴拿赫1892年出生于波兰的克拉科夫，童年时被收养，并在他养父母的家中长大。从1902年到1910年他在克拉科夫第四中学上学。毕业后他在一个克拉科夫的一个书店工作，同时自学数学。从1911年到1913年他在利沃夫的一个理工学院读书，在那里他完成了基本学科。

第一次世界大战爆发后他做造路工人。回到克拉科夫后他靠帮别人补课赚钱，同时他继续自学数学。1916年胡果·斯廷豪斯（Hugo Steinhaus）偶然结识了巴拿赫并对他感兴趣，两人共同发表了一篇论文并开始了他们的长期合作。通过斯廷豪斯巴拿赫在利沃夫理工学院的机械系获得了一个数学助教的工作，他从1920年到1922年在那里工作。

1922年巴拿赫在利沃夫的大学获得博士学位，他的博士论文的题目是《关于抽象集合的操作及其在微分方程中的应用》（Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales），通过这篇论文他创立了一个新的数学领域：泛函分析。同年6月30日他获得了教授资格，7月22日他成为利沃夫大学的例外教授。1927年转为正式教授。到1939年为止他在当地的大学任第二数学教授。

1939年苏联红军和后来德国军队入侵乌克兰后他成为当地大学的第一数学分析教授（从1939年到1941年和从1944年到1945年）。从1939年到1941年他还是哲学系的主任。他是一个非常好的教师，写了多部教科书，其中甚至包括中学教科书。

巴拿赫最早的工作是关于傅里叶级数的。他与斯廷豪斯的第一篇论文讨论了傅里叶级数的部分和的收敛问题并能够明确证明这个问题是不收敛的。此外他还研究了无穷级数的内积空间、麦克斯韦方程组、可测函数的导数以及测度。

在他的博士论文和在他的著作《线性操作理论》（Théorie des opérations linéaires）中他定义了以他命名的空间：巴拿赫空间。他奠定了泛函分析的基础并证明了其基本定理。他引入了相应的、今天在全世界在泛函分析中有效的术语，并首次对这个方面讲课。

1924年巴拿赫与阿尔弗莱德·塔尔斯基（Alfred Tarski）一起提出了巴拿赫-塔斯基悖论，这个悖论被看作是现代数学中最奇特的理论之一。

巴拿赫一生写了60多篇科学论文，发现了许多新的定理，许多这些新的定理后来成为数学不同领域的基础。他的工作方式、他的特有的科学直觉、他的直接的和宽容的性格使得他能够与斯廷豪斯一起奠定了利沃夫学派。

1919年他是波兰数学协会成立时的成员之一，1923年他被收录入利沃夫科学协会，1924年他成为波兰科学院的通讯成员，1927年正式成员，1931年华沙科学协会成员，从1932年到1936年他是波兰数学协会的副主席，从1939年到1945年波兰数学协会主席。

1930年利沃夫市授予他科学奖，1939年波兰科学院授予他大奖，同年他成为乌克兰苏维埃共和国科学院通讯成员。

德国占领时期他为当地的细菌学研究所献喂养跳蚤的血来养活全家。

1945年8月31日巴拿赫因肺癌在乌克兰的利沃夫逝世，逝世后在当地被葬。1946年波兰数学协会为纪念他颁发巴拿赫奖。许多大学城市里有以他命名的街道。

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-24 19:14 编辑 ]

熊猫羊

请参考 中国大百科全书 金山词霸版，都有详细解释

熊猫羊

思路
集合－半群 －群－环－域－空间－线性空间－赋范空间－完备空间－Euclid空间－Hilbert空间，Banach空间

eisenstange

关于泛函数这个中文概念，不太清楚，但是对于希尔伯特空间中的正交，到是稍微知道一些。

在欧几里德的空间里面，我们定义两个矢量，他们的内积，即一个矢量在另一个矢量上的投影为零时，这两个矢量相互正交。而在希尔伯特推广后，我们定义两个函数，如果他们的乘积在一个区间内的积分为零时，这两个函数正交。从而引申出一系列的正交函数，我们称一个完备的正交集为无限多个函数，他们两两之间的乘积的积分为零， 而和本身乘积的积分为常数时，这个完备的集合，成为完备正交基，关于这个的证明，如果你有兴趣的话，可以再给你讲讲，共有三种证明方法。

这个正交基的作用，如同我们在矢量分析中，将一个三维的矢量分散到执直角坐标系（一个三维的正交系）中，转换成标量函数，而有了这个正交基，我们可以把一个信号分解到这个正交基中，如同傅立叶级数展开，这样我们就可以得到一个信号在不同频谱上的分量。

有一系列的正交基，如正余弦函数，贝塞尔函数，沃德马什函数，他们都是一个完备的正交基，分别用于直角，圆柱和球型坐标系中。

熊猫羊

很同意Eisenstange的精彩解释
泛函分析的是定义于某数域的函数的集合作为一个总体来研究,即研究函数空间和它们的变换(泛函运算).如果说矢量分析是在基矢集上研究矢量和矢量间的关系，那么泛函分析是在由不同正交完备函数集上研究函数类(或曰函数集)以及函数间的关系，矢量分析中基矢有维的问题，从0维到无穷维；还有正交基集，非正交集基，前者较常见，如3维正交坐标系分直角坐标系，柱坐标系，球坐标系，在以上3种坐标系种，基矢都是正交的，其实非正交坐标系完全等效与正交坐标系，只是更复杂，需用到张量。
泛函分析是对数学更高级的抽象，由单个函数转移到函数空间,就象从代数方程及代数关系转移到变量和函数相关一样.

貂婵

原帖由 eisenstange 于 2006-6-24 19:18 发表
关于泛函数这个中文概念，不太清楚，但是对于希尔伯特空间中的正交，到是稍微知道一些。

在欧几里德的空间里面，我们定义两个矢量，他们的内积，即一个矢量在另一个矢量上的投影为零时，这两个矢量相互正交。而 ...

谢谢了, 这些基本的空间我知道,  内积空间,  赋范空间,
希尔伯特空间等的基本知识我都知道了......

我想了解更深层次的空间,  如 Banach空间和 辛空间等,  以及它们之间的关系, 和在偏微分方程中的应用....$害羞$$害羞$$害羞$

[ 本帖最后由 貂婵 于 2006-6-24 20:35 编辑 ]

熊猫羊

晕，进一步的就不懂了
我只到 Hilbert空间就够了，用于量子力学。

娃娃妈

晕,似曾相识,却失之交膊

死活想不起来当年是怎么混毕业的了

eisenstange

原帖由 貂婵 于 2006-6-24 20:33 发表



谢谢了, 这些基本的空间我知道,  内积空间,  赋范空间,
希尔伯特空间等的基本知识我都知道了......

我想了解更深层次的空间,  如 Banach空间和 辛空间等,  以及它们之间的关系, 和在偏微分方程中的应用 ...

那就超出了我的知识范围了， 呵呵，如果想知道定义，可以帮你在数学手册上查查，但是要是有更深入的理解，那俺就不行了，至少在电学里还用不上Benach空间，不过在学数学的时候提到过，但忘了。如果你看懂了，也回来给俺讲讲，谢谢了。

gongshen

very easy
banachraum ist ein normierter vektorraum mit vollstaendigkeit.
hilbertraum ist ein normierter vektorraum mit vollstandigkeit, wobei die norm durch skalarprodukt definiert ist
空间的概念是很广泛的，我更倾向于用德语去理解。因为具体的例子会失去普遍性。
比如，我们通常可以通过NORM得到METRIX，但是，在TOPOLOGIE 里，我们只讨论METRIX，因为一些空间是不可能在之上定义NORM，或定义NORM 对我们没有帮助。
SOBOLEV Raum 是因为偏微分方程的需要而定义的。需要先了解DISTRIBUTION的概念，然后把通过DISTRIBUTION定义的NORM 加起来就可以了。