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彩色的雨

哥德巴赫猜想可能不成立（修改稿）


曾富


我有一研究哥德巴赫猜想的朋友说，哥德巴赫猜想可能不成立。


他的数学证明我难以在网上描述，但是哲理我却可以讲一讲。他说，用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等?的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。关于偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从四个途径：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题，逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。然而，这都类似在33×10的8次方的大值自然数范围内证明哥德巴赫猜想成立。


反过来讲，我们说哥德巴赫猜想，主要指大于等于4的偶数一定是两个素数的和的偶数的猜想。这个猜想在大值自然数范围内是成立的。这个大值自然数类似33×10的8次方内的自然数。但哥德巴赫猜想是包括大值自然数和特大值自然数的。特大值自然数类似趋于无穷大。在特大值自然数范围内哥德巴赫猜想难于成立的原因是，素数个数稀少化。即类似空洞化，指在特大值自然数范围内找一个素数很难。于是打个比方说，把整个宇宙对应自然数列，那么大值自然数列就类似对应我们的银河系，大于等于4的偶数一定是两个素数的和就类似对应我们的银河系发现的恒星，行星，卫星和矮行星的定义，例如行星是在恒星引力的作用下围绕着恒星的中心，自转和公转作向心运动的不发光和不发热的星球和天体的规律。2006年8月24日国际天文学联合会大会放弃将冥王星之外的太阳系八大行星称为“经典行星”的说法，从而确认太阳系只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、和海王星这8颗行星，冥王星被降级为入“矮行星”；矮行星的椭圆形轨道一是与太阳系中水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、和海王星在同一运行轨道平面成一定的夹角，二是它的质量比八大行星都小。


这个规律是否在我们的银河系之外的宇宙也成立呢？在我们的银河系之外的宇宙有星系、星系团，类似对应特大值自然数列范围内的素数，但这类素数是否也遵守我们的银河系发现的恒星，行星，卫星和矮行星定义的规律现象呢？众所周知是不全遵守的。这就是特大值自然数到大值自然数范围内的“空洞化”，使得这范围内有的偶数，很难找到两个特大值自然数列范围内的素数的和，等于这个偶数。当然这个数学证明是很复杂的，它是证明哥德巴赫猜想可能不成立的关键。但道理很简单，就是要证明类似33×10的8次方以上的自然数列中的素数，仍类似小值自然数列范围内的素数一样，不存在“空洞化”，这和在特大值自然数范围内找一个素数很难相矛盾。其次，是证明类似这种“空洞化”形成的素数“断层”，不能在特大值自然数列范围内找到两个素数，其和等于特大值自然数到大值自然数范围内的某个偶数。


换句话说，1966年陈景润先生在《科学通报》上登的狖1+2狚证明的命题，是哥德巴赫猜想的一个封顶证明。虽然这个封顶证明直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生狖1+2狚证明的全文才得以发表，但直到现在狖1+2还是最好的结果；并且大家公认，再用筛法去证明狖1+1狚几乎是不可能的，所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”


有人指出，只有发展革命性的新方法，才有可能证明狖1+1狚。但这类似说，用发展革命性的新方法，就可以证明整个宇宙都遵守我们的银河系发现的恒星，行星，卫星和矮行星定义的规律现象一样。而哥德巴赫猜想可能不成立，是陈氏定理的筛法理论已证明了的事实。即任何一个特大值自然数列范围内的偶数，总可以分割为两部分：一部分是最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，那么另一部分就是这个特大值自然数范围内的偶数减去这个特大值自然数范围内的偶数的素数---这个差数，如果是素数，自然是对哥德巴赫猜想成立的说明，所以这个差数是除开素数外的必定是属于大值自然数范围内的奇数。


如果把陈景润的狖1+2狚证明中的“1”对应最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，把陈景润的狖1+2狚证明中的“2”对应这个特大值自然数范围内的偶数减去这个特大值自然数范围内的偶数的素数的差数---这个属于大值自然数范围内的除开素数外的奇数，那么它和大值自然数范围内的偶数猜想的成立是对应的。其次也是和大值自然数范围内的除开素数外的奇数猜想的成立对应的；虽然奇数猜想指的是任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和，但这是指包括了素数的奇数，因为在大值自然数范围内的除开素数外的奇数也可是两个素数的和，是能一一进行验算的。


1、从陈氏定理的筛法证明哥德巴赫猜想可能不成立可以看出，哥德巴赫猜想的半成立半不成立的数学特性——出在特大值自然数到大值自然数范围内的“空洞化”，而数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科；我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想，计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的，这就能让我们把无穷值的自然数和有限值的自然数分割开来，也能把合起来进行研究。


2、1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。因为林尼克1941年提出大筛法，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。后来林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题狖1+b狚。用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平。


陈景润的狖1+2狚证明可以变为类似与此相反，是把这个天文数字b分割给最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，而对应狖1+2狚中的“1”。以上结果表明，陈景润先生完成的“2”，就是目前人们通常的哥德巴赫猜想证明。如定理1，有无限多个素数p使得p+2(=5-3)是素数，（3，5），这是第一素数对，它有无限多素数对。定理2，J_2(3)=0，只有一个素数p=3使得p+2(=5-3)和p+4(=7-3)都是素数，（3，5，7），它只有一素数组。定理3，有无限多个素数p使得p+2(=7-5)和p+6(=11-5)都是素数，（5，7，11），这是第一素数组，它有无限多素数组。定理4，有无限多个素数p使得p+2, p+6, p+8(=13-5)都是素数，（5，7，11，13），这是第一素数组，它有无限多素数组。......定理50，有无限多个素数p使得5p^3+6, 6p^3+5都是素数，（7，1721，2063）。


但以上定理1和定理2是素数分布一个基本规律，到定理50的运用，都类似33×10的8次方内的自然数的规律，它没有证明在特大值自然数范围内也成立，或它没有证明这和在特大值自然数范围内找一个素数很难相矛盾而不矛盾。


3、哥德巴赫猜想可能不成立属于例外集合。而在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)＝1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。


有人认为，在例外集合这一途径上，有四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。搞哥德巴赫猜想的人的目标，是要证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年，潘承洞潘老师与陈景润先生合作，证明了这个δ可以取0.99。按照陈景润先生和潘承洞老师的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽教授2000年得到的，δ可以取0.92。在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1/2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近有人利用广义黎曼猜想和L-函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E(x)不超过lo g x的平方。这与x的任何δ次方相比，log x增长都是很慢的。因此这结果指出，E(x)小于x的任何δ次方。但是毕竟也没能证明哥德巴赫猜想。