电磁场的数学物理基础

iamshirley

电磁场的数学物理基础
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标量场  
标量场的梯度

矢量场  
矢量场的通量与散度：根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合面中源的正负特性，以及存在与否。但是，通量仅仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性，由此引出散度，描述源在空间各点的特性。

矢量场的环量与旋度：环量描述矢量场的漩涡特性，可以表示产生具有漩涡特性的源强度，但是它代表的是闭合曲线包围的总的源强度，不能显示源的分布特性，由此引出旋度，描述源在各点的强度。


高斯定理（Gauss' theorem）将矢量函数的面积积分转化为标量函数的体积分，反之亦然；从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与包围该区域边界上的场之间的关系。

斯拖克斯定理（Stocks' theorem）将矢量函数的面积积分转化为线积分，反之亦然；从场的观点来看，斯拖克斯定理建立了某一区域中的场与区域边缘上的场之间的关系。

散度是标量，旋度是矢量

无论是梯度，散度还是旋度，都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度，散度或旋度可能不同。

一切矢量场的源只有两种类型，即产生发散场的散度源和产生旋涡场的旋度源。因此，在全空间中，散度及旋度均处处为零的场是不存在的。但是，散度或旋度处处为零的场是存在的。通常，散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。

任一矢量场的旋度的散度一定等于0。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。如，恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为0，该恒定磁场是一个无散场。（如： div B = 0;  B = rot A, 这里 A 为矢量磁位。）

任一标量场的梯度的旋度一定等于0。任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。如，静电场的电场强度E的旋度处处为0，静电场为无旋场。

格林定理（Green’s theorem）说明区域V中的场与边界S上的场之间的关系，因此，利用格林定理可以将区域场中的求解问题转变为边界上场的问题求解。此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。

矢量场的唯一性定理：位于某一区域中的场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。根据亥姆霍兹定理（Helmholtz's theorem），无限空间中矢量场被其散度及旋度唯一地确定。有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件唯一地确定。若该有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。

梯度场是无旋场，旋度场是无散场。任一矢量场均可表示为一个无旋场与无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。无旋也无散的矢量场在无限空间是不存在的，它只能存在于局部的无源区域之中。

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