狭义相对论初级教程——科普版

沉落湖心

前言：
学会对表对尺，是正确理解狭义相对论应具备的基本知识。这些天来，看到论坛上很多人反对相对论，发表了大量的帖子说相对论有内在的矛盾因此不正确等等。我总结了一下，这些帖子大都犯了一个共同的错误：没有按照正确的方式对比两个惯性系的时间和空间，而是不自觉地按照经典力学的观念来对比，这不可避免的后果就是：这些人总是想不通为什么“同一个物理事实，不同参照系观察到的结果是不同的”。总是不明白“同时”“同地”的相对性是什么含义。为此，我就这些问题给个通俗点而且也比较严格的说法，希望那些真心想学懂狭义相对论的人看看。但是，鉴于论坛上的讨论和科普性质，我对一些概念进行了简化，或者用特殊的例子来说明，因此和其他文献中的概念可能略有不同，但本质意义是相同的，而且便于理解。
我这篇文章是在狭义相对论范围内讨论对表、对尺。因此，成立的前提是狭义相对论的两个基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。使用的工具是由这两个假设推导出来的洛伦兹变换。目的仅仅是向不很熟悉相对论的人说明：狭义相对论不存在内部矛盾！如果有人对相对论的前提假设有疑问，那不在本文的讨论范围内！另外，虽然本文目的是科普性质，但读懂本文还是需要具备一些相对论知识的。

沉落湖心

第一部分 基础知识

在相对论中，不同参考系的“时间”和“长度”是可以相互比较的，但其比较关系不是简单的相等，而是洛伦兹变换关系。不过，两个参考系之间测量和比较“时间”和“长度”的时候，有两个原则：其一是长度测量时要遵守“同时性”。也就是说，必须在同一参照系内，“同时”测量两个点的空间坐标，其差为长度。其二是时间测量要遵守“同一地点性”，只有在空间重合的点，才能测量对方的时间。在遵守这两个原则的同时，还要区分四个量：原时，非原时；固有长度（静长）、运动长度。
原时是指：在某参照系内，用同一个静止时钟测量的两“静止”于本参照系内事件的时间间隔。
非原时是指：在某坐标系内，用不同事件发生地点的时钟，测量两个事件的时间间隔。
静长是指：在相对静止惯性系中，同时测量两个“静点”的空间坐标，其空间距离为静止长度。
运动长度是指：在同一个惯性系中，同时测量相对运动的另一惯性系内两个“静点”的空间坐标，其空间距离为运动长度。

为了说明问题，设有惯性参考系K系和K'系，各轴方向相同，K'系相对于K系以v沿x轴运动。在每个参考系上都均匀放置着一系列“静止”的时钟，K系的是A，B，C，D，E，F，G，H，I……，K'系的是A'，B'，C'，D'，E'，F'，G'，H'，I'……。在各自参照系内，这些时钟间距相等，而且都是对好了时间，是彼此“同时”的。也就是说：
K系内时间：tA=tB=tC=tD=tE=tF=tG=tH=tI=T--------------------------------(1)
K'系内时间：t'A'=t'B'=t'C'=t'D'=t'E'=t'F'=t'G'=t'H'=t'I'=T'------------(2)
这两个式子，分别表示在各自参照系内各个时钟测量各自时间，因此都是原时！如果要在二者之间对时，需要先选定一个共同的空间点，在这个点上调T=T'。但这时，仅在这个点上，两参照系之间T=T'。比如，选定在E和E'重合时，两个参照系在这个点上对表，并设tE=T=T'=tE'=0。那么此刻，（1）式仅在K系内成立；（2）式仅在K'系成立，而T=T'=0仅在EE'这个重合点成立，所以，如果联立三个方程求解，那么必须清楚，这里的时间都是原时。所以，为了避免符号混淆，不赞成象普通数学方程那样简单联立求解----因为容易造成原时和非原时的混淆。
对空间，因为y、z方向无差别，略；仅说x方向（不妨分别取E，E'为各自原点）：
K系内：AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HI=L----------------------------- (3)
K'系内：A'B'=B'C'=C'D'=D'E'=E'F'=F'G'=G'H'=H'I'=L'----------- (4)
这里L是K系的静止长度，L'是K'系的静止长度。不妨取L=L'，这样，如果v=0，那么点A和A'是重合的，B和B'是重合的……。
同（1）（2）方程一样，这两个方程也是分别在K和K'系成立的，是各自参考系内的静长,因此不要混淆静长与动长，不建议简单地联立求解。
那么，如果一定要对比两参照系之间的时间空间关系，要怎么做呢？本文列举的情况，各自参考系内的是原时、静长；而测量对方的时间、长度得到的是非原时和动长。对比的时候，根据“同点对比时间、同时对比长度”的原则，只能用自己系内测量的“对方的非原时”与本系的“原时”对比；用自己系内测量的“对方的动长”与本系的“静长”对比。而这个对比关系就是洛伦兹变换。

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总结一下：
***一个惯性系内的原时，与另一相对运动的惯性系内的原时，在不同点是不能直接对比的；
***一个惯性系内的静长，与另一相对运动的惯性系内的静长，是不能直接对比的！
***能够相互对比的是，一个惯性系内的原时与其观测到的另一惯性系的非原时。一个惯性系内的静长与其观测到的另一个惯性系内的动长。

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第二部分：选定一个共同的空间点对表，此时刻的时间、空间对应关系。
2．1 图示说明
现在考虑一下，v不为0时两个参考系内对应情况。首先，两个参考系要选一点对表。就象上面分析那样，取两个参考系中相临两点之间的静止长度L=L'；取对表点为E和E'，在EE'重合的时刻，取T=T'=0。那么，在这个时刻的空间和时间坐标的对应关系如图（1）所示。

不失一般性，设v=sqrt（3）/2倍光速（约为0.866c），此时洛伦兹变换系数γ=2。取时间单位为小时，设K系静止长度L=sqrt（3）光速*小时，K'系L'=sqrt（3）光速*小时。本贴中这些长度单位都是“光速*小时”，时间单位都是小时（后面简略）。
图中的红绿颜色表示的是K系内的物理量，黑兰表示K'系内的物理量。图中长度都是各坐标系内静止长度，因此，如果两参照系相对静止，那么对应点是：A-A',B-B',C-C',D-D'…
但是，K'系相对于K系是运动的，因此，这种点点对应关系就变化了，具体就是图中KK'系内的连接直线表示的，既：这些连线表示在各自坐标系内观察所对应的“同一地点”。
解释如下节。

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2．2 利用洛伦兹变换计算两系中点的“地点”和“时间”对应关系
EE'相遇对表，此时tE=0，t'E'=0。
在K系内：tA=tB=tC=tD=tE=tF=tG=tH=tI=0。
在K'系内：t'A'=t'B'=t'C'=t'D'=t'E'=t'F'=t'G'=t'H'=t'I'=0

根据洛伦兹变换关系：
K系到K'系：x'=γ(x-vt) t'=γ(t-vx/cc) ------------------- (5)
K'系到K系：x=γ(x'+vt') t=γ(t'+x'/cc) ------------------ (6)

在K系的立场看(在K系内测量K'系)：
E点：xE=0,tE=0，代入(5)式得到对应的K'系点为：x'=0,t'=0
-------因x'E'=0，可知这正好是K'系的E'点，所以t'E'=0
C点：xC=-2sqrt(3),tC=0, 代入(5)式得到对应的K'系点为：x'=-4sqrt(3),t'=6
-------因x'A'=-4sqrt(3)，所以这对应的是K'系的A'点，t'A'=6。
G点：xG=2sqrt(3),tG=0, 代入(5)式得到对应的K'系点为：x'=4sqrt(3),t'=-6
-------因x'I'=4sqrt(3),所以这对应的是K'系的I'点，因此，t'I'=-6。
其他点对应的对应情况可依此类推。
同样可得，K'系的C'点时间是3，G'点时间是-3。
总结一下：
1）在K系的t=0时刻看来，与C点对应的K'系的点，不再是静止时对应的C'点，而是距离为γ=2倍的A'点；同样，与G对应的K'系的点，不再是静止时对应的G'点，而是距离为γ=2倍的I'点。
2）在K系的t=0时刻看来，自己参照系内静止点上的时钟读数相同，都是0。但是对应点上的K'系时钟，只有在对表点E'上的时钟读数是0，而其他各点上的时钟读数都不同！也就是说：K'系看来“同时”的事件（各个时钟读数相同），在K系看来是不同时的！

从K'系立场看（在K'系内测量K系）：
E'点：x'E'=0,t'E'=0,代入(6)式,得到对应的K系点为:x=0,t=0
-------因xA=0，可知这正好是K系的E点，因此,tA=0
D'点：x'D'=-sqrt(3),t'D'=0,代入(6)式,得到对应的K系点为:x=-2sqrt(3),t=-3
-------由x=-2sqrt(3)可知，这不是K系的D点，而是C点。tC=-3
C'点：x'C'=-2sqrt(3),t'C'=0,代入(6)式,得到对应的K系点为:x=-4sqrt(3),t=-6
-------由x=-4sqrt(3)可知，这不是K系的C点，而是A点。tA=-6
F'点：x'F'=sqrt(3),t'F'=0,代入(6)式,得到对应的K系点为:x=2sqrt(3),t=-3
-------由x=2sqrt(3)可知，这不是K系的F点，而是G点。tG=3
G'点：x'G'=2sqrt(3),t'G'=0,代入(6)式,得到对应的K系点为:x=4sqrt(3),tG=6
-------由x=4sqrt(3)可知，这不是K系的G点，而是I点。tI=6
总结一下：与从K系立场的结论类似，K'系的C'点，对应的是K系的距离为γ=2倍的A点；而对应K系C点的，却是距离为1/γ倍是D'点。时间也对应关系也类似，不再重复。

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对比一下D'-C-A'之间的关系，我们不难发现，在K系看，D'在C的位置，D'C重合！在K'系看，C在A'位置，CA'重合。这就是“同地”的相对性。同时，K系看，与C重合点的K'系的时间是6小时；但在K'系看，与C'点重合的K系时钟读数是-6小时（A点），而C点的时间是-3小时！这也体现了“同时”的相对性。
从这个对应关系可以看到，论坛中的很多问题，在给出条件的时候，就忽略了这些区别。经常是没注意到：C点到底是与A'重合还是与C'重合，而是笼统来一个“与C点重合”。这不可避免地造成了很多理解上的错误！因此，只要分清楚，在两个参考系来看，C点的位置是“不同”的，那么，后面的分析就容易理解了。

*同理可得，A-C'-D， F-G'-I，F'-G-I'等点的对应关系，也与此类似。

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2．3 总结
总结一下：在EE'对表的这个tE=t'E'=0的“时刻”：
K系观点：自己的各地时钟读数都是0，同时，K'系的各处时钟读数都不同。
K'系观点：自己的各地时钟读数都是0，同时，K系的各处时钟读数都不同。
此为：一个参考系内同时的事件，在另一参考系不同时。
K系观点：自己的长度都没变，但K'系的长度缩短了一半。
K'系观点：自己的长度都没变，但K系的长度缩短了一半。
此为：在一个参考系发生在同一地点的事件，在另一参考系内发生在不同地点。

K系观点：自己的G点和对方的I'点是重合的，但对方的时间落后6小时！
K系观点：自己的F点和对方的G'点是重合的，但对方的时间落后3小时！
K'系观点：自己的F'点和对方的G点是重合的，但对方的时间超前3小时！
K'系观点：自己的G'点和对方的I点是重合的，但对方的时间超前6小时！
……
K系观点：自己的C点和对方的A'点是重合的，但对方的时间超前6小时！
K系观点：自己的D点和对方的C'点是重合的，但对方的时间超前3小时！
K'系观点：自己的D'点和对方的C点是重合的，但对方的时间落后3小时！
K'系观点：自己的C'点和对方的A点是重合的，但对方的时间落后6小时！
……
总之一句话：在对表的当时，只有在E点和E'点，两个参考系对时间、空间的描述是一致的！而对其他各点，两各参考系的描述都是不同的——空间坐标不同，时钟读数也不同（长度不同，时间也不同）！

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3．1简介
下面谈一下运动一段时间后的情况，不失一般性，我们就以E'与G相遇的情况来说明！
根据上面的分析我们应该想到：对“E'与G相遇”这件事情，在K和K'系的描述应该还是不同的！事实上也正是如此！在K系看，E'从E运动了4个小时，到达了G点，与G重合---这相当于图1中的的E'从E'位置运动到I'位置；但从K'系看，是G点从F'位置运动到E'位置，因此只需要2小时！同样，对E点，从K系看，此时A'点已经运动到E点，因此E和A'重合，经过的时间是4小时！但从K'系看，是E点从E'点运动到了D'点，用时2小时。也就是说，除了对表那一刻在EE'点两参照系对EE'点的描述相同外，其他时刻，两参照系对事件的表述不再相同，因此，在讨论“谁与谁相遇”，“什么什么过了多长时间”等问题的时候，一定要交代清楚，是在哪个参照系讨论的！这也是目前论坛上很多人忽略的问题！下面，就分别从K系和K'系讨论“E'G相遇”这件事情。为了看着方便，用两张图分别表示。

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3．2 K系的立场
如图2所示，表示K系观察，各点的时间空间关系。解释如下：
对E点，xE=0，tE=4，代入（5）式得x'=-4sqrt(3)，t'=8
根据x' -4sqrt(3)可知，这对应的是K'系的A'点，因此t'A'=8
对G点：xG=2sqrt(3),tG=4，代入（5）式，得x'=0,t'=2
根据x'可知，这对应的式K'系的E'点，因此t'E'=2
同理可得，F对应C'点，H对应G'点……相应的时间标注如图2。

分析一下：K系自己的时间过了4个小时，而与前部分（T=T'=0）相比，K'系的各个点都只过了2个小时。这里面，是用K系的不同时钟，对测量K'系的同一个时钟，得到的结论是：K'系的时间变慢。

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3．3 K'系的立场
如图3所示，表示在K'系观察各个点的时空关系。解释如下：
对E'点，x'E'=0,t'E'=2，代入（6）式，得x=2sqrt(3),t=4
根据x=2sqrt(3)这对应的是G点，因此tG=4
对D'点，x'D'=-sqrt(3),t'D'=2,代入（6）式得，x=0，t=1
根据x=0可知这对应的是A点，因此tA=1。
对C'点，x'C'=-2sqrt(3),t'C'=2,代入（6）式得 x= -2sqrt(3),t=-2
根据x=-2sqrt(3)可知对应的是C点，因此tC=-2。

分析一下：对比上一时刻（T=T'=0）时的各点时间可知，K'系过了2小时,而K系只过了1个小时，K系的时间比K'系的慢。同时也要注意，这是K'系过了2小时的结果。如果K'系过4个小时，那么结论几乎是2.2节K系立场的“镜像图”。有兴趣的朋友可以试试。

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3．4 总结一下
从3.2-3.3的分析可以看出，对E'G相遇这件事情，两个参照系看来是完全不同的“两件事”，发生的时间地点都有差别。每个参照系都认为自己的时间过快，测量的长度最长；而对方的时间变慢，长度缩短，其间的比例系数都是γ=2。虽然两个参照系的描述是不同的，但不矛盾，二者可以通过洛伦兹变换来对应起来。只不过要注意的是，两个参照系之间做比较的时候，要遵守“同时”“同地”的原则。

而出现“双方都观测到对方的时间变慢”“双方都观测到对方的长度缩短”，造成这个表面的“矛盾”原因就是两参照系对比的规则——用自己系内测量的“对方的非原时”与本系的“原时”对比；用自己系内测量的“对方的动长”与本系的“静长”对比——现实的世界上，我们也只能这样来对比！

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图1,2,3